Strana distribuzione di numeri

La profondità dei terremoti. La luminosità dei lampi gamma provenienti dalle profondità dell'universo. La velocità di rotazione delle pulsar. E in soprannumero aggiungiamo anche l'incidenza delle malattie infettive. Domanda: che cos'hanno in comune fenomeni geologici, astrofisici ed epidemiologici? Risposta: la legge di Benford. Che è assolutamente controintuitiva ma non per questo meno vera.
Mettiamola così: nei valori numerici delle misure sperimentali raccolte nello studio di tutti questi fenomeni, quale sarà la distribuzione delle cifre da 1 a 10 nella prima posizione? Verrebbe da rispondere: sarà una distribuzione uniforme. Perché il 6 dovrebbe comparire con maggiore frequenza del 2? O viceversa? Per quale motivo Madre Natura dovrebbe preferire le cifre più piccole o più grandi? E invece...
...invece no. Invece va proprio così: le cifre più piccole sono privilegiate. Studiando i valori numerici delle misure sperimentali in discipline lontanissime, si trova che l'1 compare come prima cifra quasi in un terzo dei casi, mentre le cifre successive diventano sempre meno frequenti e addirittura il 9 si trova solo nel 4,6 per cento dei dati. Scoperta nel 1938 dal fisico Frank Benford, la legge è verificata nei settori più disparati, dalle superfici dei laghi fino alle statistiche del baseball. Non solo: gode pure dell'invarianza di scala. In sostanza, anche se si cambiano le unità di misura, continua a valere.
La legge di Benford trova ora un'ulteriore conferma in un articolo in corso di pubblicazione su "Geophysical Research Letters" e firmato da Malcolm Sambridge, dell'Università di Canberra, in Australia, e dai suoi collaboratori. Gli esempi sono proprio quelli citati: dalla sismologia con lo studio della profondità di 250 mila terremoti avvenuti fra il 1989 e il 2009, all'astrofisica con la brillantezza dei lampi gamma registrati dall'Osservatorio orbitante Fermi, fino all'epidemiologia con i dati del 2007 comunicati dall'Organizzazione Mondiale della Sanità. Stupefacente. E inutile. O no?
Già, perché questa legge sorprende ma a che cosa mai potrebbe servire? Eppure, come spesso accade, l'utilità della matematica si annida dove meno ce la aspetteremmo. Consideriamo il caso dei terremoti: i ricercatori hanno studiato un sisma avvenuto in Cile nel 2004 e, grazie alla legge di Benford e al confronto con le osservazioni sismografiche a Canberra, hanno scoperto un terremoto più debole e quasi contemporaneo in Australia. Oppure prendiamo la sicurezza dei dati e delle informazioni. In un insieme numerico, se la legge di Benford non viene rispettata allora significa che probabilmente quei dati sono stati contraffatti, manomessi, magari perfino falsificati. Forse non scopriremo da chi, ma almeno sapremo che non ci si può fidare. Eppure...
...eppure anche la legge di Benford non funziona proprio sempre. Sambridge e i suoi colleghi hanno cercato di verificarla anche con le masse di 400 pianeti extrasolari. Niente da fare: non funziona. Anzi, c'è un eccesso anomalo della cifra 6. Sarà a causa del campione troppo modesto? Oppure delle tecniche di rilevamento? O magari è proprio la legge che fa cilecca?